Ⅲ- 1. 연립일차방정식

01

-  -

-  -

미지수가 [eqn: 2]개인 일차방정식을 보기에서 모두 고른 것은?

㈀ [eqn: x+2y=11]	㈁ [eqn: x ^{2} -3y=5]

㈂ [eqn: x-9y=x+4y-1]   ㈃ [eqn: 4x+2y-1=0]

㈄ [eqn: y-x ^{2} =3+5x-x ^{2}]  ㈅ [eqn: {1} over {x} -y=2]

① ㈀, ㈃	② ㈁, ㈄	③ ㈀, ㈂, ㈃

④ ㈀, ㈃, ㈄	⑤ ㈂, ㈄, ㈅

02

다음 중 미지수가 [eqn: 2]개인 일차방정식으로 나타낼 수 있는 것은?

① 한 변의 길이가 [eqn: x` rm cm]인 정사각형의 넓이는 [eqn: y` rm cm ^{2}]이다.

② [eqn: 300]원짜리 사탕 [eqn: x]개와 [eqn: 500]원짜리 초콜릿 [eqn: y]개의 값

③ [eqn: 10`%]의 소금물 [eqn: x rmg]과 [eqn: 15`%]의 소금물 [eqn: 100` rmg]에 들어 있는 소금의 양의 합은 [eqn: y` rmg]이다.

④ [eqn: x]시간 동안 시속 [eqn: y` rmkm]로 달린 거리는 [eqn: 100` rmkm]이다.

⑤ 윗변의 길이가 [eqn: x` rmcm], 아랫변의 길이가 [eqn: 6 `rmcm], 높이가 [eqn: y `rmcm]인 사다리꼴의 넓이는 [eqn: 30 `rmcm^2]이다.

03

[eqn: x,~y]가 [eqn: 10]보다 작은 자연수일 때, 미지수가 [eqn: 2]개인 일차방정식 [eqn: 2x-y+1=0]을 만족시키는 [eqn: x], [eqn: y]의 순서쌍 [eqn: (x,~y)]의 개수를 구하시오.

04

일차방정식 [eqn: 3x-2y=1]의 해의 순서쌍 [eqn: (x,~y)]를 보기에서 모두 고르시오.

㈀ [eqn: LEFT ( -1,~-1 RIGHT )]	㈁ [eqn: LEFT ( 2,~ {5} over {2} RIGHT )]

㈂ [eqn: LEFT ( 3,~4 RIGHT )]	㈃ [eqn: LEFT ( 4,~6 RIGHT )]

㈄ [eqn: LEFT ( 5,~7 RIGHT )]	㈅ [eqn: LEFT ( 7,~10 RIGHT )]

05

한 자루에 [eqn: 300]원인 연필 [eqn: x]자루와 한 권에 [eqn: 600]원인 공책 [eqn: y]권의 값은 [eqn: 2100]원이다. 이를 [eqn: x,~y]에 대한 일차방정식으로 나타내고, 그 해의 개수를 구하면? (단, [eqn: x], [eqn: y]는 음이 아닌 정수이다.)

① [eqn: x+2y=7], [eqn: 3]	② [eqn: x+2y=7], [eqn: 4]

③ [eqn: x+2y=7], [eqn: 5]	④ [eqn: 3x+6y=20], [eqn: 3]

⑤ [eqn: 3x+6y=20], [eqn: 4]

06

[eqn: x], [eqn: y]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( 3,~-1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1,~b RIGHT )]가 일차방정식 [eqn: ax+2y=7]의 해일 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

07

[eqn: x=1], [eqn: y=-2]가 일차방정식 [eqn: ax-2by =17]의 해일 때, 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수를 구하시오.

08

[eqn: a:b=3:2]일 때, [eqn: x=a], [eqn: y=b]가 일차방정식 [eqn: {x+5} over {2} = {y+5} over {3}]의 해이다. 이때 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -7]

09

연립방정식 [eqn: {cases{x+2y=-6#2x+y=0}}]의 해가 [eqn: 2x+ay=2]를
만족시킬 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

10

연립방정식 [eqn: {cases{mx+y=16#2x+ny=12}}]의 해가 [eqn: x=7], [eqn: y=2]
일 때, 상수 [eqn: m,~n]의 값은?

① [eqn: m=1,~n=-1]	② [eqn: m=2,~n=-1]

③ [eqn: m=2,~n=2]	④ [eqn: m=3,~n=-2]

⑤ [eqn: m=3,~n=4]

11

두 연립방정식 [eqn: {cases{x+2y=1#ax+y=5}}]와 [eqn: {cases{3x+by=5#2x-3y=9}}]의
해가 같을 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

12

연립방정식 [eqn: {cases{x=2 LEFT ( x-y RIGHT )#3 LEFT ( x+3 RIGHT ) +4y=4}}]의 해가 [eqn: x=a],
[eqn: y=b]일 때, [eqn: 2ab]의 값을 구하시오.

13

연립방정식 [eqn: {cases{x-5y=a#bx+y=-3}}]의 해가 [eqn: x=2], [eqn: y=-1]일 때, 연립방정식 [eqn: {cases{ax+4by=-3#bx+ LEFT ( a-5 RIGHT ) y=-1}}]의 해를 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

14

연립방정식 [eqn: {cases{ax-y=-4#bx+cy=-3}}]을 푸는데 현욱이가 구한 해는  [eqn: x=1], [eqn: y=2]이고, 형경이가 구한 해는 [eqn: x=-1], [eqn: y=1]이었다. 현욱이는 답을 맞혔고, 형경이는 [eqn: a]를 잘못 보고 푼 것일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

15

[eqn: (x+y):(x-y)=1:3]이고
[eqn: (x-3):(y-3)=5:2]일 때, [eqn: x ^{2} -xy+y ^{2}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

16

연립방정식 [eqn: {cases{(2x+y):(6-y)=1:2#2x+y=2}}]의 해가
[eqn: x=a], [eqn: y=b]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: {cases{7x-2 LEFT ( 3x-y RIGHT ) =2#0.4x+ {1} over {2} y= {1} over {5}}}]

17

연립방정식                   의 해가

[eqn: x=a,~y=b]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: {cases{0.2 LEFT ( 2x-3 RIGHT ) =y+0.4#{x} over {3} - {a} over {4} y= {7} over {6}}}]

18

연립방정식                     과

[eqn: {cases{LEFT ( 2b+1 RIGHT ) x-y=-6#{x+1} over {3} - {y-3} over {2} =3}}]의 해가 같을 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

19

다음 방정식의 해의 순서쌍의 개수를 모두 합하면?

• [eqn: 3x+2y=14] (단, [eqn: x,~y]는 자연수이다.)

• [eqn: {cases{0.5x-0.3y=1.2#2x+y=- {1} over {3}}}]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

20

다음 방정식의 해가 [eqn: x= {1} over {2}], [eqn: y=1]일 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?

[eqn: 4ax-by=ax+2by=4x-5y]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

21

방정식 [eqn: {ax+3y} over {7} = {x-2} over {3} = {6-3y} over {4}]의 해가
[eqn: x=5], [eqn: y=b]일 때, [eqn: ab]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a]는 상수이다.)

22

다음 연립방정식 중 해가 없는 것은?

① [eqn: {cases{x-y=1#-x+y=-3}}]	② [eqn: {cases{2x-y=2#x+2y=1}}]

③ [eqn: {cases{3x-2y=7#-3x+2y=-7}}]	④ [eqn: {cases{4x+y=2#4x-y=2}}]

⑤ [eqn: {cases{-2x+10y=-2#x-5y=1}}]

23

다음 연립방정식에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

[eqn: {cases{6x+ay=2#3x+2y=b}}] ([eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: a=1,~b=2]이면 연립방정식의 해는 [eqn: 1]쌍이다.

② [eqn: a=2,~b=5]이면 연립방정식의 해는 [eqn: 1]쌍이다.

③ [eqn: a=4,~b=0]이면 연립방정식의 해가 존재하지 않는다.

④ [eqn: a=4,~b=1]이면 연립방정식의 해는 무수히 많다.

⑤ [eqn: a=4], [eqn: b=4]이면 연립방정식의 해는 무수히 많다.

24

[eqn: x,~y]에 대한 연립방정식 [eqn: {cases{3x+(a+5)y=6#(b-3)x+2y=4}}] 의
해가 무수히 많을 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: {cases{0.5x-0.4y=-1#{x} over {4} - {y} over {5} =a}}]

25

연립방정식                  의 해가 없을 때,

다음 중 상수 [eqn: a]의 값이 될 수 없는 것은?

① [eqn: - {1} over {10}]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

<정답 및 풀이>

Ⅲ- 1. 연립일차방정식

01 ④	02 ③	03 [eqn: 4]	04 ㈁, ㈂, ㈄, ㈅	05 ②

06 ②	07 [eqn: 4]	08 ③	09 [eqn: 1 over 2]	10 ②	11 ③

12 [eqn: 1]	13 [eqn: x=-1,~y=-1]	14 ①	15 ④	16 ②

17 ②	18 ②	19 ②	20 ②	21 [eqn: 2 over 3]	22 ①

23 ⑤	24 ②	25 ②

01    ④

㈂ [eqn: 13y-1=0]              ㈄ [eqn: 5x-y+3=0]

㈅ [eqn: {1} over {x} -y=2]는 [eqn: x]에 대한 일차식이 아니다.

이상에서 미지수가 [eqn: 2]개인 일차방정식은 ㈀, ㈃, ㈄이다.

02    ③

① [eqn: y=x ^{2}]

② [eqn: 300x+500y]

③ [eqn: y={10} over {100} x+ {15} over {100} TIMES 100], 즉 [eqn: 1 over 10 x -y +15=0]

④ [eqn: xy=100]   ⑤ [eqn: {1} over {2} y LEFT ( x+6 RIGHT ) =30]

03    [eqn: 4]

[eqn: LEFT ( 1,~3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,~7 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,~9 RIGHT )]의 [eqn: 4]개이다.

05    ②

[eqn: 300x+600y=2100]에서   [eqn: x+2y=7]

이 방정식의 해는 [eqn: LEFT ( 7,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,~1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,~2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,~3 RIGHT )]의 [eqn: 4]개이다.

06    ②

[eqn: x=3], [eqn: y=-1]을 주어진 방정식에 대입하면

[eqn: 3a-2=7]   [eqn: THEREFORE `a=3]

[eqn: 3x+2y=7]에 [eqn: x=-1], [eqn: y=b]를 대입하면

[eqn: -3+2b=7]   [eqn: THEREFORE `b=5]

[eqn: THEREFORE `a-b=-2]

07    [eqn: 4]

[eqn: x=1], [eqn: y=-2]를 [eqn: ax-2by=17]에 대입하면

[eqn: a+4b=17]

[eqn: a], [eqn: b]는 자연수이므로 [eqn: a+4b=17]이 참이 되게 하는 순서쌍

[eqn: (a,~b)]는 [eqn: (13], [eqn: 1)], [eqn: (9], [eqn: 2)], [eqn: (5], [eqn: 3)], [eqn: (1], [eqn: 4)]의 [eqn: 4]개이다.

08    ③

[eqn: a=3k], [eqn: b=2k]([eqn: k != 0])로 놓고 주어진 일차방정식에 대입하면

[eqn: {3k+5} over {2} = {2k+5} over {3}]

[eqn: 3(3k+5) = 2(2k+5)],   [eqn: 5k+5=0]   [eqn: THEREFORE `k=-1]

따라서 [eqn: a=-3], [eqn: b=-2]이므로   [eqn: a+b=-5]

09    [eqn: 1 over 2]

연립방정식 [eqn: cases{ x+2y=-6 # 2x+y=0}]의 해는   [eqn: x=2,~y=-4]

이것을 [eqn: 2x+ay=2]에 대입하면

[eqn: 4-4a=2]   [eqn: THEREFORE `a= {1} over {2}]

10    ②

[eqn: x=7], [eqn: y=2]를 주어진 방정식에 대입하면

[eqn: {cases{7m+2=16#14+2n=12}} `]   [eqn: THEREFORE `m=2,~n=-1]

11    ③

두 일차방정식 [eqn: x+2y=1], [eqn: 2x-3y=9]를 동시에 만족시키는 해는   [eqn: x=3,~y=-1]

이것을 [eqn: ax+y=5]에 대입하면

[eqn: 3a-1=5]   [eqn: THEREFORE `a=2]

또 [eqn: 3x+by=5]에 대입하면

[eqn: 9-b=5]   [eqn: THEREFORE `b=4]

[eqn: THEREFORE `a+b=6]

12    [eqn: 1]

주어진 연립방정식을 변형하면   [eqn: {cases{x-2y=0#3x+4y=-5}} `]

[eqn: therefore] [eqn: x=-1], [eqn: y=- {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE~2ab=2 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =1]

13    [eqn: x=-1], [eqn: y=-1]

[eqn: {cases{x-5y=a#bx+y=-3}} `]에 [eqn: x=2], [eqn: y=-1]을 대입하면

[eqn: a=7], [eqn: b=-1]

따라서 [eqn: {cases{7x-4y=-3#-x+2y=-1}} `]의 해는

[eqn: x=-1], [eqn: y=-1]

14    ①

[eqn: x=1], [eqn: y=2]를 [eqn: ax-y=-4]에 대입하면

[eqn: a-2=-4]   [eqn: THEREFORE `a=-2]

[eqn: x=1], [eqn: y=2]를 [eqn: bx+cy=-3]에 대입하면

[eqn: b+2c=-3]	…… ㉠

[eqn: x=-1], [eqn: y=1]을 [eqn: bx+cy=-3]에 대입하면

[eqn: -b+c=-3]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면   [eqn: b=1,~c=-2]

[eqn: THEREFORE `a+b+c=-3]

15    ④

[eqn: (x+y):(x-y)=1:3]에서   [eqn: 3 LEFT ( x+y RIGHT ) =x-y]

[eqn: therefore~x=-2y]

[eqn: (x-3):(y-3)=5:2]에서   [eqn: 2 LEFT ( x-3 RIGHT ) =5 LEFT ( y-3 RIGHT )]

[eqn: therefore~2x-5y=-9]

연립방정식 [eqn: {cases{x=-2y#2x-5y=-9}} `]를 풀면   [eqn: x=-2,~y=1]

[eqn: THEREFORE `x ^{2} -xy+y ^{2} = LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( -2 RIGHT ) TIMES 1+1=7]

16    ②

[eqn: LEFT ( 2x+y RIGHT ) : LEFT ( 6-y RIGHT ) =1:2]에서 [eqn: 2 LEFT ( 2x+y RIGHT ) =6-y]이므로 주어진 연립방정식은

[eqn: {cases{4x+3y=6#2x+y=2}}]   [eqn: therefore] [eqn: x=0], [eqn: y=2]

[eqn: THEREFORE `a+b=2]

17    ②

주어진 방정식에서   [eqn: {cases{x+2y=2#4x+5y=2}}]

이를 연립하여 풀면   [eqn: x=-2], [eqn: y=2]

[eqn: THEREFORE `a+b=0]

18    ②

연립방정식의 해는

[eqn: cases{0.2(2x-3) = y+0.4# x+1 over3 - y-3 over 2 =3}], 즉 [eqn: cases{2x-5y=5#2x-3y=7}]의 해와 같다.

[eqn: therefore] [eqn: x=5,~y=1]

이것을 [eqn: {x} over {3} - {a} over {4} y= {7} over {6}]에 대입하면

[eqn: {5} over {3} - {a} over {4} = {7} over {6}],   [eqn: {a} over {4} = {1} over {2}]   [eqn: THEREFORE `a=2]

또 [eqn: LEFT ( 2b+1 RIGHT ) x-y=-6]에 대입하면

[eqn: 5 LEFT ( 2b+1 RIGHT ) -1=-6],   [eqn: 2b+1=-1]

[eqn: THEREFORE `b=-1]

[eqn: THEREFORE `a-b=3]

19    ②

[eqn: 3x+2y=14]의 해 [eqn: x], [eqn: y]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]는

[eqn: LEFT ( 2,~4 RIGHT ) ,~ LEFT ( 4,~1 RIGHT )]의 [eqn: 2]개

[eqn: {cases{0.5x-0.3y=1.2#2x+y=- {1} over {3}}}]을 변형하면   [eqn: {cases{5x-3y=12#6x+3y=-1}}]

이 연립방정식을 풀면   [eqn: x=1], [eqn: y=- {7} over {3}]

따라서 연립방정식의 해는 [eqn: 1]개이므로 구하는 해의 순서쌍의 개수의 합은 [eqn: 3]이다.

20    ②

[eqn: x= {1} over {2}], [eqn: y=1]일 때 주어진 방정식은

[eqn: 2a - b = a over 2 + 2b =-3]

[eqn: therefore] [eqn: {cases{2a-b=-3#{a} over {2} +2b=-3}}]

이 연립방정식을 풀면

[eqn: a=-2], [eqn: b=-1]

[eqn: THEREFORE `ab=2]

21    [eqn: 2 over 3]

방정식 [eqn: {x-2} over {3} = {6-3y} over {4}]에 [eqn: x=5], [eqn: y=b]를 대입하면

[eqn: 1= {6-3b} over {4}]   [eqn: THEREFORE `b= {2} over {3}]

방정식 [eqn: {ax+3y} over {7} = {x-2} over {3}]에 [eqn: x=5], [eqn: y= {2} over {3}]를 대입하면

[eqn: {5a+2} over {7} =1]   [eqn: THEREFORE `a=1]

[eqn: THEREFORE `ab= {2} over {3}]

22    ①

① [eqn: {cases{x-y=1#x-y=3}}]이므로 해가 없다.

② [eqn: {cases{2x-y=2#x+2y=1}}]의 해는 [eqn: x=1], [eqn: y=0]의 [eqn: 1]개이다.

③ [eqn: {cases{3x-2y=7#3x-2y=7}}]이므로 해가 무수히 많다.

④ [eqn: {cases{4x+y=2#4x-y=2}}]의 해는 [eqn: x= {1} over {2}], [eqn: y=0]의 [eqn: 1]개이다.

⑤ [eqn: {cases{x-5y=1#x-5y=1}}]이므로 해가 무수히 많다.

23    ⑤

① [eqn: a=1,~b=2]이면   [eqn: {cases{6x+y=2#3x+2y=2}}]   [eqn: therefore~x = 2 over 9 ,~ y = 2 over 3]

② [eqn: a=2,~b=5]이면   [eqn: cases{6x+2y =2 # 3x+2y =5}]   [eqn: therefore~x=-1,~y=4]

③ [eqn: a=4,~b=0]이면   [eqn: cases{6x+4y =2 # 3x+2y =0}]

따라서 해가 존재하지 않는다.

④ [eqn: a=4,~b=1]이면   [eqn: cases{6x+4y =2 # 3x+2y =1}]

따라서 해는 무수히 많다.

⑤ [eqn: a=4,~b=4]이면   [eqn: cases{6x + 4y =2 # 3x+2y =4}]

따라서 해가 존재하지 않는다.

24    ②

[eqn: {3} over {b-3} = {a+5} over {2} = {6} over {4}]이 성립하므로

[eqn: a=-2,~b=5]

[eqn: THEREFORE `a+b=3]

25    ②

주어진 연립방정식을 변형하면

[eqn: {cases{5x-4y=-10#5x-4y=20a}}]

따라서 해가 없으면 [eqn: -10 != 20a]이므로

[eqn: a!= - {1} over {2}]